15、物理学的黄金年代

5年首先提出。[1192]在这个系统中，整数被赋予了各种各样的数学定义。例如，“无法被1和它自己之外的任何数整除”（即质数）的定义可能被赋予了一个整数，比如说17；另一个定义“等于一个整数乘以该整数自身的积”（即完全平方数）可能被赋予了整数20。现在假设这些定义被列在一张表上，以上两个定义分别以第17和第20位插入表格。注意有关这些定义的两件事：与第一条定义相关联的17，本身确实是一个质数，但与第二条定义相关联的20，却不是一个完全平方数。在里夏尔算术中，之前关于质数的定义称为不具有里夏尔性，而关于完全平方数的定义则称为具有里夏尔性。从形式上来说，具有里夏尔性的定义是指“不具有在连续有序的定义集合中由与整数相关联的典型表达式所赋予的定义”。但当然，这最后一条语句本身就是一则数学定义，因此属于该系列并拥有自己的整数，n。现在可以提出问题了：n具有里夏尔性吗？关键的矛盾马上出现了。“当且仅当n具有里夏尔性时，按照定义它不具有第n个定义所描写的特征，显而易见，因此当且仅当n不具有里夏尔性时，才具有里夏尔性”n。[1193]没有哪种类比能够完美地表达哥德尔定理，这里所作的类比也不例外，但它至少充分传达出了悖论的思想。对某些人来说这是一个令人沮丧的结论（哥德尔自己也和慢性抑郁症的反复发作进行着斗争。他终生过着苦行僧般的生活，并于1978年因人格障碍导致的“营养不良和虚弱”去世，终年72岁）。[1194]哥德尔确立了数学和逻辑都存在自身界限的思想。而戈特洛布·弗雷格、大卫·希尔伯特和罗素的目标——建立单一的演绎系统，在其中所有的数学（以及所有的逻辑学）真理都可以从少数公理推导得出——也因此无法实现。哥德尔定理从其自身和以上的暗示来看，都是数学不确定性原理的一种形式，因此它永远改变了数学的面貌。此外，正如罗杰·彭罗斯所指出的，哥德尔“开放式的数学直觉与物理学的现有结构从本质上是不相容的”。[1195]

在某些方面，哥德尔的发现堪称最根本和最神秘的发现。他当然有着大多数人所谓的神秘的一面，他也认为我们应该像相信其他形式的经验一样相信数学直觉。[1196]他的理论和不确定性原理一道，描述了认识的界限。正如当时在各个方向上取得的所有进步和思想的新途径一样，哥德尔的理论为思想领域注入了一层怀疑和悲观。为什么人类的认识应该有界限？而认识到这些界限的存在又意味着什么呢？