13、印度数字、梵语、吠檀多

是不二论（字面意思是“没有第二个”，或就像我们说的一元论）。根据不二论，现象世界都不是真实的，万物都源自那个“最终的，绝对的存在”，那个被称作“梵”的“没有人格的无性的实体”，它具有三个属性：存在、意识和至福。对商羯罗来说，梵是不变和永恒。对西方人来说，这听起来很神秘，就像柏拉图的“一”和亚里士多德的“不动的推动者”的结合。[1335]宇宙其他任何事物都在变化，因为它们在某些层次上是不真实的。对人而言，这种变化的表现形式是轮回。

迦梨陀娑在他的一篇诗中提到了一个使空气凉爽的旋转喷水管。在古代和中世纪，印度人的智慧仅次于中国人，这一点还体现在这样一个事实上：到公元1世纪，印度医生已经完善了二十种为不同的外科手术准备的手术刀。同时，他们的数学家已经发展了数群概念，让我们想起某种古埃及思想，那可以被视为关于未知数x的代数概念的原型。

在印度和在埃及一样，数学的出现似乎开始于寺庙建筑，人们用一套不同长度的绳索设计圣地的布局，建立直角，对齐神坛。这门学问在系列《苏瓦经》中被确定下来。“苏瓦”指的是测量用的绳索，“经”指的是记录一种仪式或科学的规则或格言的书。[1336]现存的《苏瓦经》有三种版本，最著名的版本叫《阿帕斯坦巴》。这些版本出现于公元前8世纪到公元2世纪之间。因此，我们无法确定其中的思想是印度人的自创，还是来自美索不达米亚或希腊化世界。不过，印度的算术肯定发端于寺庙：例如神圣公式就是为了计算建造神坛需要多少砖块而发明的。[1337]

年代比较确切的是《悉檀多》，即（天文）体系，它有五个版本，都写于公元5世纪初，也是梵语复兴的早期例证。在这点上，印度学者同样坚持认为《悉檀多》中的思想是印度本土思想，然而其他人从中看到了希腊影响的确定痕迹。[1338]无论结果如何，在《悉檀多》中，印度人完善和扩展了托勒密的三角学。用H.J.温特的话说：“古印度数学毫无疑问是中世纪南亚次大陆取得的最卓越的思想成就。在希腊的几何学传统之外，它还发展了一种以分析为表现形式的强有力的方法。这不是建立在既有的公理、公设和普通观念基础上的演绎推理过程，而是对数字行为以及它们的排列组合的直觉洞察，也许可以认为是归纳性总结，简而言之，就是代数，而不是几何……对超越纯粹几何的更广泛的归纳法的探求使印度人抛弃了托勒密测算圆内弦的方法，而代之以正弦测算，由此启动了三角学研究。我们要把分析方法的起源归功于这些痴迷于神秘数字的婆罗门数学家的哲学心灵。在这种抽象化过程中，出现了两个尤其有趣的特征：较低的成就是十进位的完善，较高的成就是某些不定方程的解法。”[1339]托勒密的三角学以圆内各弦与其所对应的中心角之间的关系为基础。而《悉檀多》的作者把这种对应改为半弦和整个弦所对的半角之间的关系。这就是被称为角的正弦的现代三角函数产生的过程。[1340]

印度人的第二大创造是发明了印度数字。这主要归功于著名的印度数学家阿耶波多，本章开头介绍过他。公元499年，他完成了一个小薄本《阿耶波多文集》，由123行韵诗组成，涵盖了天文学，其中三分之一讲述了数学。[1341]书的后半部分讨论了时间和球面三角学，在提到计算中的数字时，他用了一句话，“后一位数总是前一位数的十倍”。“本地值”曾经是巴比伦计算法的主要构成，不过巴比伦人并没有使用十进制。刚开始时，印度的计算法都是用简单的竖笔画排在一起，这是一种重复算法，当然下一步是为4、10、20和100发明新的符号。这种佉卢文字被前面提到的所谓婆罗米文代替，它和伊奥尼亚的希腊数字近似，例如：

从这种排列发展到我们现在使用的算法，需要两步。第一步是要掌握在位值系统下，只需要九个数字——上表中从I往后的所有其他数字都可以不用。我们还不确定这一步是什么时候开始迈出的，但是数学史家一致认为它出现在印度，也许是在印度和波斯的交界处，那里巴比伦人的位值系统可能激发了它同婆罗米文字的融合使用；也可能是在印度同中国的交界处，因为中国人用算筹计数：

这有可能表明九个数字的简化。[1342]

最早提到九个印度数字的文献是叙利亚主教塞维鲁·塞博赫特的著作。在第11、12章我们提到查士丁尼于公元6世纪关闭了雅典的哲学学校，因此有些希腊学者逃到叙利亚（有些则逃到恭德沙普尔）。有可能塞博赫特对这些希腊人看不起别处的学问这一事实感到愤怒，因为他“发现有必要提醒这些说希腊语的人‘别人也知道点什么’”。[1343]为了强调这一点，他接着提到了印度人，提到他们在天文学上的发现，尤其是“他们弥足珍贵的计算方法和难以形容的运算。我只想说，他们的运算是通过九个数字进行的”。[1344]

注意这里提到了九个数字，而不是十个。显然，在当时印度人还没有向现代计数体系（0的计数）迈出关键的第二步。D.E.史密斯在他的数学史中写道：“0在印度最早的确凿证据出现在876年的一处铭文上。”换句话说，是在其他九个数字出现的两个世纪之后。我们仍然不清楚0第一次是在哪里出现的，而且零或空的概念由玛雅人独立发展出来，这一点在后面的章节中会讨论。剑桥的中国科技史学家李约瑟倾向于认为中国是0的起源地。他说：“比较古老的印度文献在描写中国计数板上的空格时只简单用了‘孙亚’，即‘空’这个词，这也许非常重要。”[1345]柬埔寨一处683年的铭文使用了“.”，又叫“宾度”，来表示0，而邦加岛（苏门答腊岛海岸）686年的铭文使用了闭合的圆圈。[1346]不过这无疑受到了印度影响，而且确实看起来是印度人第一次使用了以上三种新的记号，它们成为我们现代计数体系的基础：十进位基础；位值计数；十个数字，而且只有十个数字。这些到公元876年都出现了。

现在，我们只用一个“鸭蛋”来代表0。有一段时期，人们认为0最先起源于希腊的第十五个字母Ο，它是“欧登”的首字母，意思是“空”。这种说法已经被推翻。有时用“.”，有时用倒写的“h”来表示。[1347]

印度数学家的最后一个重要创造是发明了格子乘法和长除法。“格子”是个意大利词，这种算法在12世纪发明后传入中国和阿拉伯世界，14、15世纪又从那里传入意大利。格子看上去像威尼斯风格窗户上的格栅。下面是格子乘法的一个例子：

在这个例子中，456和34相乘，得数是15504。顶上的数字和左边的数字分别相乘，把每个得数写在相应的由对角线分割的方格中。这样除了个数相乘外，不需要别的记忆负担。然后，只需要把对角线上的数字相加，从右边顶部开始并向左进位，得出最后的答案。[1348]

直到公元8世纪早期，印度人才接触到伊斯兰教，而且如果不是因为711年的一件事情，可能还要更晚。那一年，一艘装满货物的阿拉伯商船在印度河口被劫，这一事件激怒了伊拉克的倭马亚总督，他向信德之王发起了一支由6000名叙利亚骑兵和同样数量的伊拉克骆驼骑兵参加的军事远征。[1349]这支军队很快征服了婆罗门阿巴德，所及之处，印度人不是改宗就是被杀。但是这种早期的暴行没有持续多久。阿拉伯人很快认识到印度人太多，难以杀尽；再者，穆斯林学者研